已知A是3阶矩阵,|A|>0,A*=﹛1 -1 -4﹜,且ABA-¹=BA-¹+3E,求矩阵B.

题目

已知A是3阶矩阵,|A|>0,A*=﹛1 -1 -4﹜,且ABA-¹=BA-¹+3E,求矩阵B.

答案

由 |A*| = 4 = |A|^2,|A|>0
所以 |A| = 2.
由 AA* = A*A = |A|E = 2E
在等式 ABA^-1=BA^-1+3E 两边左乘 A*,右乘A,得
A*ABA^-1A=A*BA^-1A+3A*A
所以 2B = A*B+6E
所以 (2E-A*)B = 6E
所以 B = 6(2E-A*)^-1
2E-A* = diag(1,3,6)
(2E-A*)^-1 = diag(1,1/3,1/6)
B = 6(2E-A*)^-1 = diag(6,2,1)