已知f(x)=（1+2^x+4^x·a）/3＞0,当x∈（－∞,1]时恒成立,求实数a的范围.

题目

已知f(x)=（1+2^x+4^x·a）/3＞0,当x∈（－∞,1]时恒成立,求实数a的范围.

答案

（1+2^x+4^x·a）/3＞0,当x∈（－∞,1]时恒成立,
即1+2^x+4^x·a＞0,当x∈（－∞,1]时恒成立,所以a>(-1-2^x)/4^x,对于x∈（－∞,1]时恒成立.
所以a>-1/4^x-1/2^x,对于x∈（－∞,1]时恒成立.
因为函数f(x)=-1/4^x-1/2^x在（－∞,1]上是增函数
所以函数f(x)=-1/4^x-1/2^x在（－∞,1]上的最大值为-3/4
所以a>-3/4
答：实数a的范围为（-3/4,+∞]