已知f（x）是实数集R上的函数，且对任意x∈R，f（x）=f（x+1）+f（x-1）恒成立．（1）求证：f（x）是周期函数；（2）已知f（3）=2，求f（2 004）．

题目

已知f（x）是实数集R上的函数，且对任意x∈R，f（x）=f（x+1）+f（x-1）恒成立．
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）已知f（3）=2，求f（2 004）．

答案

（1）证明∵f（x）=f（x+1）+f（x-1）
∴f（x+1）=f（x）-f（x-1），
则f（x+2）=f[（x+1）+1]=f（x+1）-f（x）
=f（x）-f（x-1）-f（x）=-f（x-1）．
∴f（x+3）=f[（x+1）+2]=-f[（x+1）-1]
=-f（x）．
∴f（x+6）=f[（x+3）+3]=-f（x+3）=f（x）．
∴f（x）是周期函数且6是它的一个周期．
（2）∵f（x）是周期函数且6是它的一个周期．
f（2004）=f（334×6）=f（0）=-f（3）=-2．

举一反三

已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．

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已知f（x）是实数集R上的函数，且对任意x∈R，f（x）=f（x+1）+f（x-1）恒成立． （1）求证：f（x）是周期函数； （2）已知f（3）=2，求f（2 004）．

已知f（x）是实数集R上的函数，且对任意x∈R，f（x）=f（x+1）+f（x-1）恒成立． （1）求证：f（x）是周期函数； （2）已知f（3）=2，求f（2 004）．

已知f（x）是实数集R上的函数，且对任意x∈R，f（x）=f（x+1）+f（x-1）恒成立．（1）求证：f（x）是周期函数；（2）已知f（3）=2，求f（2 004）．

已知f（x）是实数集R上的函数，且对任意x∈R，f（x）=f（x+1）+f（x-1）恒成立．（1）求证：f（x）是周期函数；（2）已知f（3）=2，求f（2 004）．