已知对于任意实数x，二次函数f（x）=x2-4ax+2a+12（a∈R）的值都是非负的，求函数g（a）=（a+1）（|a-1|+2）的值域．

题目

已知对于任意实数x，二次函数f（x）=x²-4ax+2a+12（a∈R）的值都是非负的，求函数g（a）=（a+1）（|a-1|+2）的值域．

答案

依题意可知△=16a²-4（2a+12）≤0，解得-

3

2

≤a≤2
当1≤a≤2时，g（a）=（a+1）（|a-1|+2）=（a+1）²，单调增
∴g（a）∈[4，9]
当-

3

2

≤a＜1时，g（a）=（a+1）（|a-1|+2）=-（a-1）²+4，函数单调增
∴g（a）∈[-

9

4

，4）
综合得函数g（a）的值域为[-

9

4

，9]