求梯形重心的公式

题目

求梯形重心的公式

答案

假设梯形为ABCD,且AB//DC
建立一个坐标系,A(0,0) B(b,0) C(c,h) D(d,h) b>0 h>0 cBC边的重心在((b+c)/2,h/2),质量为m2=根号((b-c)^2+h^2)m
CD边的重心在((c+d)/2,h),质量为m3=(d-c)m
AD边的重心在(d/2,h/2),质量为m4=根号(d^2+h^2)m
于是梯形可以等效为这四个重心组成的质点组
于是梯形的质心位置为
x坐标为x=(bm*b/2+根号((b-c)^2+h^2)m*(b+c)/2+(d-c)m*(c+d)/2+根号(d^2+h^2)m*d/2)/(bm+根号((b-c)^2+h^2)m+(d-c)m+根号(d^2+h^2)m)
=(b^2+(b+c)根号((b-c)^2+h^2)+(d^2-c^2)+d根号(d^2+h^2))/2(b+根号((b-c)^2+h^2)+(d-c)+根号(d^2+h^2))
y坐标为y=(根号((b-c)^2+h^2)m*h/2+(d-c)m*h+根号(d^2+h^2)m*h/2)/(bm+根号((b-c)^2+h^2)m+(d-c)m+根号(d^2+h^2)m)
=h(根号((b-c)^2+h^2)+2(d-c)+根号(d^2+h^2))/2(b+根号((b-c)^2+h^2)+(d-c)+根号(d^2+h^2))