一个数论题.

题目

一个数论题.
证明：如果正整数N可以表示是为都是3的倍数的三个整数的平方和,那么,它一定可以表示为都不是3的倍数的三个整数的平方和.在网上看到很多“无聊”的解答.请不要通过举一个例子就说已经证明.我要求证明.另外,不是通过程序验证.一个程序时不可能验证所有的正整数的.

答案

因为N可以表示为3个3的倍数的平方和（好拗口）.所以可以设N=9^n*(a^2+b^2+c^2) 其中a不是3的倍数（这样做的目的是把N的分解式中的所有的9提出来.
然后,我们可以用有限递降来实现这个证明.
N=9^n*(a^2+b^2+c^2) =9^(n-1)*(9a^2+9b^2+9c^2) =9^(n-1)*[(2a+2b-c)^2+(2b+2c-a)^2+(2c+2a-b)^2](这一步的代数变形很巧妙,中间项正好都抵消了）
其中2a+2b-c=2（a+b+c)-3c 要使2a+2b-c不是3的倍数,只需2（a+b+c)不是3的倍数即可,如果3能整除a+b+c,则使-a代替a,因为a不是3的倍数,所以2（-a+b+c)就不是3的倍数.
按这种做法执行n次,就可以把9的次数降低为0,就实现了这个转化过程.
哈哈.我刚好前几天做了这道题.挺有趣的