函数f（X)=1－2a－2acosx－2倍的sinx的平方 的最小值为g(a）（a是实数）

题目

函数f（X)=1－2a－2acosx－2倍的sinx的平方 的最小值为g(a）（a是实数）
（1）求g（a）
（2）若g（a）=1／2,求a及此时f（x）的最大值
只有两问

答案

（1）整理并配方得f(x)=1－2a－2acosx－2(1-cosx^2)=2(cosx-a/2)^2-(a^2)/2-2a-1
对a/2的取值范围进行分类讨论
当a/2大于等于-1且小于等于1时,即a大于等于-2且小于等于2时,g（a）=-(a^2)/2-2a-1
当a/2小于-1时,即a小于-2时,cosx=-1时f(x)取得最小值g(a)=2(-1-a/2)^2-(a^2)/2-2a-1=1
当a/2大于1时,即a大于2时,cosx=1时f(x)取得最小值g(a)=2(1-a/2)^2-(a^2)/2-2a-1=1-4a
所以将g(a)写成分段函数的形式就可以了
（2）g（a）=1／2有两种情况,分别代入第1种和第三种情况得
第一种情况,若-(a^2)/2-2a-1=1/2,解得a=-2加减根号3,因为此时a必须大于等于-2且小于等于2,所以a=-2加根号3
第三种情况,1-4a=1／2,解得a=1/8,与此时a必须大于2的条件不符,舍掉.
综上所述,a=-2+根号3,此时f(x)的最大值在cosx=1时取得,代入后得最大值为9-4倍的根号3