已知异面直线AB,CD都平行于平面α,且AB,CD位于α的两侧,若AC,BD分别交于α于M,N两点,求证：AM/MC=BN/ND

题目

已知异面直线AB,CD都平行于平面α,且AB,CD位于α的两侧,若AC,BD分别交于α于M,N两点,求证：AM/MC=BN/ND

答案

过点A作AE⊥α于E,过点C作CF⊥α于F,
显然,AE是AB到平面α的距离,CF是CD到平面α的距离,
且有：AE‖CF ,
则：A、E、C、F 四点在同一平面内,
点M在AC上,那么也在平面AECF上.
在平面AECF内,已知：AE‖CF ,且AC和EF相交于点M,
可得：△AEM ∽ △CFM ,
所以,AM/MC = AE/CF = AB到平面α的距离 / CD到平面α的距离 .
同理可得：BN/ND = AB到平面α的距离 / CD到平面α的距离 ；
所以,AM/MC = BN/ND .