已知点A（1，1）和点B（-1，-3）在曲线C：y=ax3+bx2+d（a，b，d为常数上，若曲线在点A和点B处的切线互相平行，则a3+b2+d=_．

题目

已知点A（1，1）和点B（-1，-3）在曲线C：y=ax³+bx²+d（a，b，d为常数上，若曲线在点A和点B处的切线互相平行，则a³+b²+d=______．

答案

设f（x）═ax³+bx²+d，
∵f′（x）=3ax²+2bx，
∴f′（1）=3a+2b，f′（-1）=3a-2b．
根据题意得 3a+2b=3a-2b，∴b=0．
又点A（1，1）和点B（-1，-3）在曲线C上，
∴

a+d＝1 −a+d＝−3

解得：

a＝2 d＝−1

a³+b²+d=7．
故答案为：7．

曲线在点A和点B处的切线互相平行得，f′（1）=f′（-1），再结合点在曲线上则点的坐标适合方程建立方程组，解方程求出a、b、d值即可．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道中档题．