求方程m2-2mn+14n2=217的自然数解.

求方程m2-2mn+14n2=217的自然数解.

题目
求方程m2-2mn+14n2=217的自然数解.
答案
方程m2-2mn+14n2=217,可化为:(m-n)2+13n2=217,
则可得(m-n)2≥0,n2
217
13
≈16.7,
∴n可取0,1,2,3,4,
①当n=0时,m2=217,217不是完全平方数,不符合题意;
②当n=1时,(m-1)2=204,204不是完全平方数,不符合题意;
③当n=2时,(m-2)2=165,165不是完全平方数,不符合题意;
④当n=3时,(m-3)2=100,100是完全平方数,此时m=13;
⑤当n=4时,(m-4)2=9,9是完全平方数,此时m=1;
综上可得方程m2-2mn+14n2=217的自然数解为:
n1=3
m2=13
n2=4
m2=1
先判断n的范围,分别讨论每一个n值,确定符合条件的m的值.

非一次不定方程(组).

本题考查了非一次不定方程,解答本题的关键是确定n的可取值,难度较大.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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