求定积分∫x√（1-x）dx ∫范围为0到1

题目

求定积分∫x√（1-x）dx ∫范围为0到1

答案

令√（1-x）=t
1-x=t²
x=1-t²
dx=-2tdt
x=0,t=1;x=1,t=0
所以
原式=∫（1,0）(1-t²)t*(-2t)dt
=2∫（0,1）(t²-t^4)dt
=2(t³/3-t^5/5)|(0,1)
=2(1/3-1/5)
=4/15