宽与长的比是5−12的矩形叫黄金矩形.心理测试表明:黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调,匀称的美感.现将小波同学在数学活动课中,折叠黄金矩形的方法归纳如下(如图所示):

宽与长的比是5−12的矩形叫黄金矩形.心理测试表明:黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调,匀称的美感.现将小波同学在数学活动课中,折叠黄金矩形的方法归纳如下(如图所示):

题目
宽与长的比是
5
−1
2
的矩形叫黄金矩形.心理测试表明:黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调,匀称的美感.现将小波同学在数学活动课中,折叠黄金矩形的方法归纳如下(如图所示):
第一步:作一个正方形ABCD;
第二步:分别取AD,BC的中点M,N,连接MN;
第三步:以N为圆心,ND长为半径画弧,交BC的延长线于E;
第四步:过E作EF⊥AD,交AD的延长线于F.
请你根据以上作法,证明矩形DCEF为黄金矩形.
答案
证明:在正方形ABCD中,取AB=2a,
∵N为BC的中点,
∴NC=
1
2
BC=a.
在Rt△DNC中,ND=
NC2+CD2
a2+(2a)2
5
a

又∵NE=ND,
∴CE=NE-NC=(
-1)a.
CE
CD
(
5
−1)a
2a
5
−1
2

故矩形DCEF为黄金矩形.
此题首先设出正方形的边长是2a,然后根据作图中的方法分别用a表示出矩形的长和宽,再进一步求得它们的比值,根据黄金矩形的概念即可判断.

黄金分割;勾股定理;正方形的性质.

考查了黄金分割点的概念,熟记黄金比的值.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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