若二次函数满足f(x+1)-f(x)=2x,

题目

若二次函数满足f(x+1)-f(x)=2x,
若二次函数满足f(x+1+-f(x)=2x,且f（0）=1,(1)求函数解析式(2)若在区间[-1,1]上不等式f(x)>2x+m,恒成立,求m的取值范围
,

答案

（1）：f(x+1)-f(x)=2x
令x=0得f(1)-1=0 所以f(1)=1
令x=-1得1-f(-1)=-2 所以f(-1)=3
设二次函数f(x)=ax^2+bx+c
将（0,1)(1,1)(-1,3)带入得
c=1
a+b+c=1
a-b+c=3
∴a=1,b=-1,c=1
∴二次函数解析式为f(x)=x²-x+1
（2）：f(x)>2x+m得
x²-3x+1-m>0
即g（x）=x²-3x+1-m在[-1,1]上恒大于零
又g（x）的对称轴为x=1.5>1
∴g（x）在[-1,1]上为减函数
∴只需g（1）=-1-m>0
∴m