如图,等边三角形ABC的边长为3,P为BC边上的一点,且BP=1,D为AC上的一点,若∠APD=60度,则CD的长为

题目

如图,等边三角形ABC的边长为3,P为BC边上的一点,且BP=1,D为AC上的一点,若∠APD=60度,则CD的长为
三角形PDC面积为

答案

第一个问题：
∵△ABC是等边三角形,∴∠B＝60°,又AB＝3、BP＝1,
∴由余弦定理,有：AP^2＝AB^2＋BP^2－2AB×BPcos∠B＝9＋1－2×3×1×cos60°＝7,
∴AP＝√7.
∵△ABC是等边三角形,∴AC＝BC＝AB＝3,∴CP＝BC－BP＝3－1＝2.
由余弦定理,有：CP^2＝AP^2＋AC^2－2AP×ACcos∠CAP,
∴4＝7＋9－2×√7×3cos∠CAP,∴6√7cos∠CAP＝12,∴cos∠CAP＝2/√7.
∴sin∠CAP＝√［1－（cos∠CAP）^2］＝√（1－4/7）＝√3/√7.
又∠APD＝60°.
∴sin∠ADP
＝sin（180°－∠APD－∠CAP）＝sin（∠APD＋∠CAP）＝sin（60°＋∠CAP）
＝sin60°cos∠CAP＋cos60°sin∠CAP＝（√3/2）×（2/√7）＋（1/2）×（√3/√7）＝3√3/（2√7）.
由正弦定理,有：AD/sin∠APD＝AP/sin∠ADP,
∴AD＝APsin∠APD/sin∠ADP＝√7sin60°/［3√3/（2√7）］＝7/3,
∴CD＝AC－AD＝3－7/3＝2/3.
第二个问题：
∵△ABC是等边三角形,∴∠C＝60°,∴sin∠C＝√3/2.
S(△PDC)＝（1/2）CP×CDsin∠C＝（1/2）×2×（2/3）×（√3/2）＝√3/3.