数项级数(n+1)/2^n 的和

数项级数(n+1)/2^n 的和

题目
数项级数(n+1)/2^n 的和
答案
考虑幂级数∑{n=0至∞}(n+1)x^n,则其收敛半径为1,令其和函数为s(x),即s(x)=∑{n=0至∞}(n+1)x^n,因此,s(x)=∑{n=0至∞}[x^{n+1}]'=[∑{n=0至∞}x^{n+1}]'=(x/(1-x))'=(1-1/(1-x))'=1/(1-x)^2,
取x=1/2,可知∑{n=0至∞}(n+1)/2^n=s(1/2)=4
这里用到1/(1-x)的幂级数展开:1/(1-x)=∑{n=0至∞}x^n
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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