设f(x)=x^3-3x^2+6x-6,且f(a)=1,f(b)=-5,则a+b的值为多少?说一下为什么 f(x+1)+2 = x3+3x 是奇函数

题目

设f(x)=x^3-3x^2+6x-6,且f(a)=1,f(b)=-5,则a+b的值为多少?说一下为什么 f(x+1)+2 = x3+3x 是奇函数
说明白每一步是怎么来的

答案

f(x)=x^3-3x^2+6x-6
可以写成f(x)=(x-1)^3+3(x-1)-2 把偶函数x^2项消去
这个函数显然是关于(1,-2)中心对称的.
就是f(1+c)+f(1-c) = －2*2 = －4
函数的导数=3x^2-6x+6 =3(x-1)^2+3 >0 是连续递增的.不存在一个f(x)值有两个不同x的情况
所以对于一个确定的f(1+c),只能有一个点和f(1+c)之和等于－4 .这个点只能是f(1-c)
刚好f(a)+f(b)=-4 所以a=1+c b=1-c a+b=2
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f(x+1)+2 = x3+3x 就是 f(x)+2=(x-1)^3+3(x-1)
而f(x)=x^3+3x是奇函数,本题把它平移成关于点(1,-2)的奇函数