设函数f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导且f（0）=f（1）=0，f（1/2）=1，试证明至少存在一点ξ∈（0，1），使得f′（ξ）=1．

题目

设函数f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导且f（0）=f（1）=0，f（

1

2

答案

令F（x）=f（x）-x，则F（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且
F(

1

2

)=f(

1

2

)-

1

2

=

1

2

，
F（1）=f（1）-1=-1，
故对F（x）在[

1

2

，1]上利用零点定理可得，
∃η∈(

1

2

，1)，使得F（η）=0．
又因为F（0）=f（0）-0=0，
故对F（x）在区间[0，η]上利用罗尔中值定理可得，
至少存在一点ξ∈（0，η）⊂（0，1），使得F′（ξ）=0，
即：f′（ξ）=1．