线性代数问题:设 b c>0,证明:2阶实矩阵A=[a,b;c,d] 与对角阵相似

题目

线性代数问题:设 b c>0,证明:2阶实矩阵A=[a,b;c,d] 与对角阵相似

答案

证:|A-λE| = λ^2 -(a+d)λ - bc.
因为λ^2 -(a+d)λ - bc 的判别式 Δ= (a+d)^2+4bc
而已知 bc>0.所以 Δ>0.
所以A有2个不同的特征值,故A有2个线性无关的特征向量.
故 A 与对角矩阵相似.