在平行四边形ABCD中,DC=2AD,M为DC的中点,试猜想三角形ABM的形状,并加以证明.

题目

在平行四边形ABCD中,DC=2AD,M为DC的中点,试猜想三角形ABM的形状,并加以证明.

答案

解法一:
证明:因为M为CD中点,所以DM=MC(DM=1/2DC)
又因为DC=2AD,所以AD=DM,所以角DAM=角DMA①
同理角MBC=角BMC②
三角形ADM与三角形BMC的六个内角和为360度
而角D与角C的和为180度(两直线平行,同旁内角和为180度)
所以角DAM.角DMA.角MBC.角BMC四个角和为180度
因为①②所以角DMA角BMC和为90度(得出角AMB为90度)
因此AM垂直于BM,原题得证.
解法二:
直角三角形.
证明：设AD=a,依余弦定理,得：
AM^2=2a^2-2a*cos∠D
BM^2=2a^2-2a*cos∠C
因∠D+∠C=180°
故cos∠D=-cos∠C
故AM^2+BM^2=4a^2=AB^2
符合勾股定理,故为直角三角形.
解法三:
取AC的中点N,连接MN.MN为平行四边形ABCD的中位线,故MN=AD=1/2CD=1/2AB.
在三角形ABM中:MN为AB边的中线,且MN=1/2AB,所以ABM为直角三角形.
证明：设AD=a,依余弦定理,得：
AM^2=2a^2-2a*cos∠D
BM^2=2a^2-2a*cos∠C
因∠D+∠C=180°
故cos∠D=-cos∠C
故AM^2+BM^2=4a^2=AB^2
符合勾股定理,故为直角三角形.