如图,△ABC是⊙O的内接三角形且AB=AC,BD是⊙O的直径.过点A做AP‖BC交DB的延长线于点P,连接AD.

题目

如图,△ABC是⊙O的内接三角形且AB=AC,BD是⊙O的直径.过点A做AP‖BC交DB的延长线于点P,连接AD.
求AP是圆O的切线?若圆O的半径是2,cos∠ABC=4分之3,求AB的长?

答案

①∵∠ABD＝∠PAD｛弦切角等于同弧上的圆周角｝,∠ADO＝∠OAD｛等边对等角｝；
故∠PAO＝∠ABD＋∠ADO＝180º－90º｛直径上的圆周角是直角｝＝90º；
∴PA⊥OA,即PA是切线.
②延长AOO交SC与Q,交园于G,即画直径AG；AG⊥BC｛已知AP∥BC｝；
∵R他ABQ中 cos∠ABC＝sin∠BAG＝3／4,BG＝AG·¾＝3｛AG＝4｝；
∵Rt△ABG中 AB²＝4²－3²＝5,
∴AB＝√5.