凸多边形的每一个内角都小于180°,那么凸多边形中最多可以有几个钝角,几个锐角,几个直角呢?

凸多边形的每一个内角都小于180°,那么凸多边形中最多可以有几个钝角,几个锐角,几个直角呢?

题目
凸多边形的每一个内角都小于180°,那么凸多边形中最多可以有几个钝角,几个锐角,几个直角呢?
答案
凸n边形最多可以有n个钝角,最多3个锐角,最多4个直角.理由如下:
凸n边形的内角和为(n-2)·180º.
(1)若要使各角均为钝角,则
(n-2)·180>90n,解得 n>4
所以,当边数n大于或等于5时,最多可达n个钝角.(但四边形最多可以有3个钝角,三角形最多只有1个钝角.)
(2)若要使各角均为锐角,则
(n-2)·180<90n,解得 n<4
所以,当边数n等于3时,最多可达n个锐角,即也就说只有三角形可以全部为锐角.
当n≥4时,n边形最多有几个锐角呢?
我们不妨设最多有x个锐角,则其余的必为钝角,其个数为(n-x),
(n-2)·180<90x+(n-x)·180,解得 x<4
所以,当边数大于或等于4时,最多可以有3个锐角.
综上所述,任意凸n边形最多可以有3个锐角.
(3)若要使各角均为直角,则
(n-2)·180=90n,解得 n=4
所以,四边形最多可以全部为直角.
众所周知,三角形最多只有1个直角.那么,当边数n≥5时,最多有几个直角呢?不妨设最多有y个直角,则其余的必为钝角,其个数为(n-y),
(n-2)·180<90y+(n-y)·180,解得 y<4
所以,当边数大于或等于5时,最多只可以有3个直角.
综上所述,凸多边形最多可以有4个直角.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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