在直角坐标平面中,已知点P1（1,2）,P2（2,2^2）,……,Pn（n,2^n）,其中n是正整数.对平面上任一点A0,记A1为A0关于点P1的对称点,A2为A1关于点P2的对称点,……,An为An

题目

在直角坐标平面中,已知点P1（1,2）,P2（2,2^2）,……,Pn（n,2^n）,其中n是正整数.对平面上任一点A0,记A1为A0关于点P1的对称点,A2为A1关于点P2的对称点,……,An为An-1关于点Pn的对称点.
1.求向量A0A2的坐标；
2.当点A0在曲线C上移动时,点A2的轨迹是函数y=f(x)的图像.其中f(x)是以3为周期的周期函数,且当x∈(0,3]时,f(x)=1gx,求以曲线C为图像的函数在（1,4]上的解析式；
3.对任意偶数n,用n表示向量A0An的坐标.

答案

1）向量A0A2的坐标(2,4）
2）设A0坐标（x,y）,因为A0与A1关于P1对称,所以A1=（2-x,4-y）,又因为A1与A2关于P2对称,所以A2=（x+2,y+4）
又x∈（0,3】时f（x）=lgx,且f（x）周期为3,所以x∈（3,6】时
f（x）=lg（x-3）,x∈（1,4】,x+2∈（3,6】
所以曲线C在x∈（1,4】时y+4=lg（x+2-3）,即y=lg（x-1）-4）
3）△A0A1A2中,P1为A0A1中点,P2为A1A2中点,所以A0A2=2P1P2,以此类推A2A4=2P3P4…An-2An=Pn-1Pn,根据向量相加,A0An=2（P1P2+P3P4+…Pn-1Pn）,
其横坐标为2【（2-1）+（4-3）+…+（n-n+1）】=n,
其纵坐标为2（2+23+25+…+2n-1）=4（2n-1）/3
所以A0An=（n,4（2n-1）/3）,n为偶数.