在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥BC,∠A1AC=60度,A1A=AC=BC=1.A1B=√2(1)求证:平面A1BC

题目

在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥BC,∠A1AC=60度,A1A=AC=BC=1.A1B=√2(1)求证:平面A1BC
在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥BC,∠A1AC=60度,A1A=AC=BC=1.A1B=√2（1）求证：(1)平面A1BC⊥平面ACC1A1 (2)如果D为AB中点,求证：B1C平行于平面A1CD
如图（1）E,F分别是直角三角形ABC边AB和AC的中点.∠B=90度,沿EF将三角形ABC折成如图(2)所示的瑞尔免交A1-EF-B,若M为线段A1C中点,求证：直线FM平行于平面A1EB （2）平面A1FC⊥平面A1BC

答案

一、
(1).证明：连接A1C
在△AA1C中：
∵∠A1AC=60°,AC=A1C=1
∴△AA1C为等边三角形
∴A1C=1
在△A1BC中：
∵A1C²+BC²=A1B²
∴△A1BC为直角三角形,且∠A1CB=90°
∴BC⊥A1C
又∵BC⊥AA1,且AA1∩A1C=A1
∴BC⊥平面AA1C1C
∵BC⊂平面A1BC
∴平面A1BC⊥平面AA1C1C
(2).证明：连接B1C,交BC1于E,设A1C中点为F,连接EF,DE
∵四边形BB1C1C为平面四边形
∴E为B1C中点
又∵F为A1C中点
∴EF为△A1B1C的中位线
∴EF//A1B1,EF=(1/2)A1B1
又∵A1B1//AB,A1B1=AB,D是AB中点
∴EF//BD,且EF=BD
∴四边形BDFE为平行四边形
∴DF//BE,即DF//BC1
又∵DF⊂平面A1CD
∴BC1//平面A1CD
二、
(1).证明：连接AA1
∵F,M是AC,A1C中点
∴MF是△AA1C的中位线
∴MF//AA1
又∵AA1⊂平面A1EB
∴FM//平面A1EB
(2).证明：
∵E,F为AB,AC中点
∴EF//BC
∴EF⊥AB
∵图形由EF对折
∴EF⊥AE,且EF⊥BE
又∵AE∩BE=E
∴EF⊥平面AA1B
∴BC⊥平面AA1B
∵AA1⊂平面AA1B
∴BC⊥AA1
∵AA1//MF
∴BC⊥MF
∵F是AC中点
∴A1F=CF,即△A1FC为等腰三角形
M为A1C中点
∴MF⊥A1C
即MF⊥A1C,MF⊥BC,A1C∩BC=C
∴MF⊥平面A1BC
又∵MF⊂平面A1FC
∴平面A1FC⊥平面A1BC