证明题 设f(x)在区间[0,3]上连续,在区间(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(3)=3,f(3)=1,试证明必存在一点

题目

证明题 设f(x)在区间[0,3]上连续,在区间(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(3)=3,f(3)=1,试证明必存在一点
ξ属于(0,3),使f导( ξ)=0

答案

f(0)+f(1)+f(3)=3,f(3)=1
则f(0)+f(1)=2
因此f(0)=f(1)=1,或f(0)1
若f(0)1由介值定理可知,在(0,1)上存在一点x1,使f(x1)=1
再加上f(0)=f(1)=1的情况,可知,在[ 0,1 ]上存在一点x1,使f(x1)=1
f(x1)=1=f(3)
因此由中值定理可知,在(x1,3)上存在一点ξ使得f '(ξ)=0
而在(x1,3)上的ξ必然在(0,3) 上