已知如图,E、F在BD上,且AB=CD,BF=DE,AE=CF,求证:AC与BD互相平分.

已知如图,E、F在BD上,且AB=CD,BF=DE,AE=CF,求证:AC与BD互相平分.

题目
已知如图,E、F在BD上,且AB=CD,BF=DE,AE=CF,求证:AC与BD互相平分.
答案
证明:∵BF=DE,
∴BF-EF=DE-EF
即BE=DF,
在△ABE和△DFC中,
AB=CD
BE=DF
AE=CF

∴△ABE≌△DFC(SSS),
∴∠B=∠D.
在△ABO和△CDO中,
∠A0B=∠COD
∠B=∠D
AB=CD

∴△ABO≌△CDO(AAS),
∴AO=CO,BO=DO,
即AC与BD互相平分.
先证△ABE≌△DFC得∠B=∠D,再证△ABO≌△COD,根据全等三角形的性质即可证明AC与BD互相平分.

全等三角形的判定与性质.

本题考查了全等三角形的判定与性质及互相平分的定义,解题关键是通过证明△ABE≌△DFC得∠B=∠D,为证明△ABO≌△COD提供条件.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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