设函数f（x）=（x-3）3+x-1，{an}是公差不为0的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，则a1+a2+…+a7=（　　） A.0 B.7 C.14 D.21

题目

设函数f（x）=（x-3）³+x-1，{a_n}是公差不为0的等差数列，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=14，则a₁+a₂+…+a₇=（　　）
A. 0
B. 7
C. 14
D. 21

答案

∵f（x）=（x-3）³+x-1，∴f（x）-2=（x-3）³+x-3，
令g（x）=f（x）-2
∴g（x）关于（3，0）对称
∵f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=14
∴f（a₁）-2+f（a₂）-2+…+f（a₇）-2=0
∴g（a₁）+g（a₂）+…+g（a₇）=0
∴g（a₄）为g（x）与x轴的交点
因为g（x）关于（3，0）对称，所以a₄=3
∴a₁+a₂+…+a₇=7a₄=21，
故选D．

根据f（x）=（x-3）³+x-1，可得f（x）-2=（x-3）³+x-3，构造函数g（x）=f（x）-2，从而g（x）关于（3，0）对称，利用f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=14，可得g（a₁）+g（a₂）+…+g（a₇）=0，从而g（a₄）为g（x）与x轴的交点，由此可求a₁+a₂+…+a₇的值．

本题考点：数列与函数的综合．

考点点评：本题考查数列与函数的综合，考查函数的对称性，考查数列的性质，需要一定的基本功．