已知一条抛物线经过A（0,3）,B（4,6）两点,对称轴是直线X=5／3 第（2）详解

题目

已知一条抛物线经过A（0,3）,B（4,6）两点,对称轴是直线X=5／3 第（2）详解
已知一条抛物线经过A（0,3）,B（4,6）两点,对称轴是直线X=5／3,﹙1﹚求这条抛物线的解析式 ﹙2﹚求证：这条抛物线与X轴的两个交点中,必存在点C,使得对X轴上的任意点D都有AC﹢BC≤AD﹢BD

答案

（1）设成顶点式
y=a(x-5/3)²+k
代入A,B两点坐标
3=25a/9 +k (1)
6=49a/9+k (2)
(1)-(2)
-3=-24a/9
解得 a=9/8
b= -1/8
所以 解析式 y=(9/8)(x-5/3)²-1/8
y=(9/8)x²-15x/4 +3
（2）y=0
即(9/8)x²-15x/4 +3=0
∴ 9x²-30x+24=0
∴ 3x²-10x+8=0
∴ (x-2)(3x-4)=0
∴ x=2或x=4/3
下面求AD+BD的最小值
设A关于x轴对称点为A',则A'(0,-3)
直线A'B的方程：y=(9/4)x-3,
当y=0时,x=4/3
∴ 线段A'B与x轴的一个交点就是抛物线与X轴的一个交点（4/3,0）
∴ AD+BD=A'D+BD≥|A'B|,当D是线段A'B与x轴的交点时等号成立
∴ 这条抛物线与X轴的两个交点中,必存在点C（4/3,0）,
使得对X轴上的任意点D都有AC﹢BC≤AD﹢BD