设f（x)=x2+px+q,A=｛x|x=f(x)｝,B=｛X|f〔f(x)〕｝=x

题目

设f（x)=x2+px+q,A=｛x|x=f(x)｝,B=｛X|f〔f(x)〕｝=x
(1)1求证：A包含于B
（2）如果A=｛-1,3｝,求B

答案

设x0属于A
则f(x0)=x0
f[f(x0)]=f(x0)=x0
x0属于B
所以A是B的子集,即A包含于B
因为A={-1,3}
即x=-1,x=3是方程x=f(x)的解
x=x²+ax+b
x²+(a-1)x+b=0
由韦达定理知
-1+3=-(a-1)
-1×3=b
解得a=-1,b=-3
f(x)=x²-x-3
所以f(f(x))=x即是
(x²-x-3)²-(x²-x-3)-3=x
(x²-x-3)²=x²
所以x²-x-3=x或x²-x-3=-x
即x²-2x-3=0或x²-3=0
解得x=-1,x=3,x=±根号3
所以B是一个包含4个元素的集合,它的四个元素是
-1,3,±根号3