x^2+y^2+z^2=1 求xy-根号3yz取值范围

题目

x^2+y^2+z^2=1 求xy-根号3yz取值范围
我是这么想的 分成x^2+y^2/4+3y^2/4+z^2 用基本不等式 大于负1小于1

答案

这个可以用球面的极坐标公式,令x=cosθsinφ,z=cosθcosφ,y=sinθ.其中θ,φ取值独立.
xy-√3yz=y(x-√3z)=sinθ(cosθsinφ-√3cosθcosφ)=sinθcosθ(sinφ-√3cosφ)
=2sinθcosθsin(φ-π/6)=sin2θsin(φ-π/6)
所以xy-√3yz属于[-1,1]