已知(-1+x)2除多项式x4+ax3-3x2+bx+3所得的余式是x+1,试求a,b的值

题目

已知(-1+x)2除多项式x4+ax3-3x2+bx+3所得的余式是x+1,试求a,b的值
所有的x为未知数,所有字母后面的数都是该数的平方

答案

(-1+x)2除多项式x4+ax3-3x2+bx+3所得的余式是x+1
不妨设商式为x^2+cx＋d．由已知有
　　　x^4＋ax^3-3x^2＋bx＋3
　　　　=(-1+x)^2(x^2+cx＋d)+(x＋1)
　　　　=(x^2-2x＋1)(x^2＋cx＋d)＋x＋1
　　　　=x^4+(c-2)x^3+(1-2c＋d)x^2+(1＋c-2d)x＋d+1．
　　比较等号两端同次项的系数,应该有
(c-2)=a
(1-2c＋d)=-3
(1＋c-2d)=b
d+1=3
解得
a=1
b=0
c=3
d=2