已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点,求点A(5,0)到l的距离的最大值

题目

已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点,求点A(5,0)到l的距离的最大值

答案

(1)2x+y-5=0与x-2y=0的交点是(2,1)
若直线斜率不存在,则垂直x轴
是x=2,A到x=2距离=|2-5|=3,符合题意
若斜率存在
y-1=k(x-2)
kx-y+1-2k=0
A到直线距离=|5x-0+1-2k|/√(k²+1)=3
|3k+1|=3√(k²+1)
9k²+6k+1=9k²+9
k=4/3
4x-3y-5=0
所以是x=2和4x-3y-5=0
(2)过P作任一直线l,设d为点A到l的距离,则d≤|PA|（当l⊥PA时等号成立）．
∴dmax=|PA|= √10