已知满足|p|≤2的不等式x2+px+1>2x+p恒成立,则实数x的取值范围是_.
题目
已知满足|p|≤2的不等式x2+px+1>2x+p恒成立,则实数x的取值范围是______.
答案
原不等式变为:x
2+px+1-2x-p>0,左端视为p的一次函数,设f(p)=(x-1)p+(x-1)
2,
∵|p|≤2,由一次函数的单调性可得只要线段端点的纵坐标都是正数即可,
∴
| f(−2)=(x−1)(x−3)>0 | f(2)=(x−1)(x+1)>0 |
| |
,
即
,
解得:x<-1或x>3.
故答案为:(-∞,-1)∪(3,+∞).
先移项,然后可将不等式的左边看作关于p的一次函数,然后根据|p|≤2可得函数的端点的纵坐标都是正数,从而可得出f(-2)>0,f(2)>0,解出即可.
二次函数的性质.
本题考查了不等式恒成立问题,在解答本题时运用了函数思想,采用了变更主元的策略.函数思想是数学求解中常用的一种方法.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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