应用格林公式求∫xy^2dy-x^2ydx,其中L是上半圆周x^2+y^2=a从（a,0） 到（-a,0） 的一段.

题目

应用格林公式求∫xy^2dy-x^2ydx,其中L是上半圆周x^2+y^2=a从（a,0） 到（-a,0） 的一段.

答案

补线段L1：y=0,x：-a→a
则L+L1为封闭曲线,可以用格林公式
∮(L+L1) xy²dy-x²ydx
=∫∫ (y²+x²) dxdy
=∫[0→2π]dθ ∫[0→a] r³ dr
=2π(1/4)r^4 |[0→a]
=(1/2)πa^4

下面计算所补线段上的积分
∫(L1) xy²dy-x²ydx=0

因此：原积分=(1/2)πa^4-0=(1/2)πa^4

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