在数列{an}中,a1=1,a2=2,且a（n+1）=（1+q)an-qa（n-1）,（n≥2,q≠0）

题目

在数列{an}中,a1=1,a2=2,且a（n+1）=（1+q)an-qa（n-1）,（n≥2,q≠0）
（1）设bn=a（n+1）-an（n∈N*）,证明{bn}是等比数列
（2）求数列{an}的通项公式
（3）若a3是a6与a9的等差中项,求q的值,并证明：对任意的n∈N*,an是a（n+3）与a（n+6）的等差中项

答案

1.a（n+1）=（1+q)an-qa（n-1),a(n+1)-an=q[an-a(n-1)],[a(n+1)-an]/[an-a(n-1)]=q,{bn}是等比数列,公比为q；
2.a2-a1=2-1=1,a(n+1)-an=q^(n-1),an-a(n-1)=q^(n-2),┄┄a3-a2=q,a2-a1=1,上式两边相加得：
a(n+1)-a1=(q^n-1)/(q-1),an=[q^(n-1)+q-2]/(q-1)；
3.a3=(q²+q-2)/(q-1),a6=(q^5+q-2)/(q-1),a9=(q^8+q-2)/(q-1),
2(q²+q-2)/(q-1)=(q^5+q-2)/(q-1)+(q^8+q-2)/(q-1),2q²=q^5+q^8,q³=-2,
a(n+3)=[q^(n+2)+q-2]/(q-1)=[q³q^(n-1)+q-2]/(q-1),a(n+6)=[q^6q(n-1)+q-2]/(q-1),
a(n+3)+a(n+6)=[-2q^(n-1)+q-2+4q^(n-1)+q-2]/(q-1)=2*{[q^(n-1)+q-2]/(q-1)}=2an；则an是a（n+3）与a（n+6）的等差中项.