求证如下数列收敛 xn=(1+1/2^2)(1+1/3^2)……(1+1/n^2)
题目
求证如下数列收敛 xn=(1+1/2^2)(1+1/3^2)……(1+1/n^2)
答案
易证该数列递增,由ln(1+x)﹤x可知ln(1+1/n^2)﹤1/n^2﹤1/n(n-1)=1/(n-1)-1/n
n n
故ln xn=∑ln(1+1/i^2)﹤∑[1/(i-1)-1/i]=1-1/n﹤1故xn﹤e(其中e为自然对数的底数)有单调有
i=2 i=2
界原理可知xn必定收敛.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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