过点（2,1）作直线L与两坐标轴的正半轴交与A,B两点,当三角形ABC的面积最小时,求直线L的方程

题目

过点（2,1）作直线L与两坐标轴的正半轴交与A,B两点,当三角形ABC的面积最小时,求直线L的方程

答案

直线L解析式为y=kx+b,
∵经过点(2,1)
∴2k+b=1
∴k=(1-b)/2
设与X轴交于点A(M,0),与Y轴交于点B(0,N)
则M=-b/k=-2b/(1-b),N=b,
∴S△ABO=1/2*MN=1/2*[-2b/(1-b)]*b=b²/(b-1)
∵b>0,
∴当b=2时,S最小=4,
此时 k=-1/2,
∴当三角形ABC的面积最小时,直线L的方程为 x+2y-4=0