均值不等式问题,

题目

均值不等式问题,
已知a,b,c属于R,且a/(b+c)=b/(a+c)-c/(a+b),证明b/(a+c)≥（√17-1）/4（ 注“√17”指根号17）
有答案的一定最加50分,另外用500请高手指点一下均值不等式一些深入的问题,有意者联系

答案

你题中条件应该有误,a,b,c应该大于0.
证明：由条件,有
b/(a+c)=c/(a+b)+a/(b+c),
令a+b=x,b+c=y,c+a=z,则
a=(x+z-y)/2,b=(x+y-z)/2,c=(y+z-x)/2,
从而原条件可化为：
(x+y)/z=(y+z)/x + (z+x)/y -1 = y/x +x/y + z/x +z/y -1≥ 2+ z/x + z/y -1 = z/x + z/y +1 ≥ 4z/(x+y) +1,
令(x+y)/z=t,则
t≥4/t +1,
解得
t ≥ (1+√17)/2 或 t≤(1-√17)/2,
故
b/(a+c)=(x+y-z)/(2z)= t/2 - 1/2 ≥ (√17-1)/4