O为坐标原点,抛物线y2=4x与其过交点的直线交于A,B两点,则向量OA*向量OB=?

题目

O为坐标原点,抛物线y2=4x与其过交点的直线交于A,B两点,则向量OA*向量OB=?

答案

向量OA*向量OB＝|OA|*|OB|*cos(∠AOB)；
在三角形OAB中,由余弦定理：AB²=OA²+OB²-2*OA*OB*cos(∠AOB)；
以上两式比较,向量OA*向量OB=(OA²+OB²-AB²)/2

已知抛物线y2=4x的焦点(1,0),设直线AB解析式为y=k(x-1),代入可得交点A、B横坐标：k²(x+1)²=4x；
从而有 Xa*Xb=1,Ya*Yb=-√(4Xa*4Xb)=-4；（y坐标一正一负）
因 OA²=Xa²+Ya²,OB²=Xb²+Yb²,AB²=(Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²；
故 OA²+OB²-AB²=(Xa²+Ya²)+(Xb²+Yb²)-[(Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²]=2*Xa*Xb+2*Ya*Yb=2*1-2*4=-6；
所以 向量OA*向量OB=-6/2=-3；