已知命题p:x-10/x+2
题目
已知命题p:x-10/x+2<0,命题q:x^2-2x+1-a^2≥0(a≥0)
(1)若非p是q的充分不必要条件,求实数a组成的集合M;
(2)若不等式(x-2)m<2x-1对于x∈M中的一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.
答案
命题p:(x-10)/(x+2)<0,
即-2命题q:x^2-2x+1-a^2≥0(a≥0),
即x>=1+a,或x<=1-a.
(1)非p是q的充分不必要条件,
<==>{x|x<=-2,或x>=10}是{x|x>=1+a,或x<=1-a}的真子集,
<==>1-a<=-2,且1+a<=10,
<==>{a|3<=a<=9}=M.
(2)不等式(x-2)m<2x-1对于x∈M恒成立,
<==>m<(2x-1)/(x-2)=2+3/(x-2),记为f(x),f(x)是M上的减函数,f(9)=17/7,
∴m的取值范围是(-∞,17/7).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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