求教一道高数题 求曲面z=x^2+y^2+3在点M(1,-1,5)处的切平面与曲面z=x^2+y^2+2x-2y所围成的空间区域的体积

题目

求教一道高数题 求曲面z=x^2+y^2+3在点M(1,-1,5)处的切平面与曲面z=x^2+y^2+2x-2y所围成的空间区域的体积

答案

曲面z=x^2+y^2+3在点M处的法向量
n=(2x,2y,-1)|M=(2,-2,-1)
写出切平面的方程
2(x-1)-2(y+1)-(z-5)=0
整理为
2x-2y-z+1=0
可以写成z=2x-2y+1
把平面和曲面z=x^2+y^2+2x-2y联立得到投影：x^2+y^2=1
所以体积
V=∫∫∫dxdydz=∫∫dxdy ∫(x^2+y^2+2x-2y-> 2x-2y+1)dz
=∫∫(1-x^2-y^2)dxdy
=∫∫(1-r^2)rdrdθ
=∫(0->2π)dθ ∫(0->1) (1-r^2)rdr
=π/2