已知函数f(x)=a/3x3−a+1/2x2+x+b,其中a,b∈R. (Ⅰ)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=5x-4,求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)当a>0时,讨论函数f
题目
已知函数
f(x)=x3−x2+x+b,其中a,b∈R.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=5x-4,求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)当a>0时,讨论函数f(x)的单调性.
答案
(Ⅰ)f'(x)=ax
2-(a+1)x+1,
由导数的几何意义得f'(2)=5,于是a=3.
由切点P(2,f(2))在直线y=5x-4上可知2+b=6,解得b=4.
所以函数f(x)的解析式为f(x)=x
3-2x
2+x+4.
(Ⅱ)
f′(x)=ax2−(a+1)x+1=a(x−)(x−1),
当0<a<1时,
>1,函数f(x)在区间(-∞,1)及
(,+∞)上为增函数;
在区间
(1,)上为减函数;
当a=1时,
=1,函数f(x)在区间(-∞,+∞)上为增函数;
当a>1时,
<1,函数f(x)在区间
(− ∞,)及(1,+∞)上为增函数;
在区间
(,1)上为减函数.
(1)先求函数f(x)的导数,令f'(2)=5求出a的值,切点P(2,f(2))在函数f(x)和直线y=5x-4上,可求出b的值,最后得到答案.
(2)对f'(x)的解析式因式分解后讨论可得答案.
利用导数研究函数的单调性.
本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,即当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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