如图，菱形ABCD的边长为2，△BCD为正三角形，现将△BCD沿BD向上折起，折起后的点C记为C′，且CC′=3，连接CC′． （Ⅰ）若E为CC′的中点，证明：AC′∥平面BDE； （Ⅱ）求三棱锥C′

题目

如图，菱形ABCD的边长为2，△BCD为正三角形，现将△BCD沿BD向上折起，折起后的点C记为C′，且CC′=

3

，连接CC′．

（Ⅰ）若E为CC′的中点，证明：AC′∥平面BDE；
（Ⅱ）求三棱锥C′-ABD的体积．

答案

（Ⅰ）连接AC，交BD于点O，连接OE、OC，
∵ABCD为菱形，∴O为AC的中点．
又∵E为CC′的中点，∴OE∥AC′
又AC′⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，
∴AC′∥平面BDE．
（Ⅱ）在△C′AC内，过C′作C′H⊥AC于H，在菱形ABCD中，BD⊥CO，又△BCD沿BD折起，
∴BD⊥C′O，∵CO∩OC′=O，
∴BD⊥平面CC′O，∴BD⊥C′H，
又AC∩BD=O，∴C′H⊥平面BCD，
∵CC′=OC=OC′=

3

，∴C′H=

3

2

，
∴V_C′-ABD=V_C′-BCD=

1

3

×S_△BCD×C′H=

1

3

×

1

2

×2×

3

×

3

2

=

3

2

．

（I）连接AC，交BD于点O，连接OE、OC，可得OE∥AC′，再由线面平行的判定定理证明AC′∥平面BDE；
（II）在△C′AC内，过C′作C′H⊥AC于H，可证C′H⊥平面BCD，求得C′H与S_△BCD，根据V_C′-ABD=V_C′-BCD计算可得答案．

本题考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．

考点点评：本题考查了线面平行的判定，考查了三棱锥的体积计算，考查了学生的空间想象能力与运算能力．