设函数f(x)为奇函数,且对任意x,y∈R都有f(x)-f(y)=f(x-y),当x0,f(1)=-5,求f(x)在[-2,2]的最大值

题目

设函数f(x)为奇函数,且对任意x,y∈R都有f(x)-f(y)=f(x-y),当x0,f(1)=-5,求f(x)在[-2,2]的最大值
如题

答案

因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x)
f(x)>0 (xf(x)0)
因此f(x)在【-2,2】的最大值必在【-2,0】间
假设x>y,则x-y>0
则f(x)-f(y)=f(x-y)f(x)f(x）函数是单调递减函数
因此f(x)在【-2,0】的最大值是f(-2)
又f(2)-f(1)=f(2-1)
=>f(2)=2f(1)=-10
因此f(-2)=-f(2)=10
所以f(x)在【-2,2】的最大值为10