求证:|a+b|/(1+|a+b|)

题目

求证:|a+b|/(1+|a+b|)<=(|a|/(1+|a|)+|b|/|1+b|);a为实数,b不等于-1

答案

先证明左边=1-1/(1+|a+b|)<=1-1/(1+|a|+|b|)<=1-1/(1+|a|+|b|+|ab|)*=1-1/[(1+|a|)(1+|b|)]注意到1/[(1+|a|)<=1,1/[(1+|b|)<=1所以有[1-1/[(1+|a|)][1-1/[(1+|b|)>=0,展开,1-1/[(1+|a|)-1/[(1+|b|)+1/[(1+|a|)(1+|b|)]>=0
所以1-1/[(1+|a|)(1+|b|)]<=2-1/[(1+|a|)-1/[(1+|b|)=|a|/(1+|a|)+|b|/（1+|b|）<=(|a|/(1+|a|)+|b|/|1+b|）*
当且仅当a,b至少有1个为0且当a=0时,b>=0成立.*号表示等号成立条件的判定式