△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosC,-bcosB,ccosA成等差数列. (I)求角B的大小; (Ⅱ)若b=27,S△ABC=23,求a,c的长.
题目
△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosC,-bcosB,ccosA成等差数列.
(I)求角B的大小;
(Ⅱ)若b=2
,
S△ABC=2,求a,c的长.
答案
(I)∵acosC,-bcosB,ccosA成等差数列,
∴-2bcosB=acosC+ccosA,
利用正弦定理化简得:-2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C),
又sin(A+C)=sin(π-B)=sinB,
∴-2sinBcosB=sinB,
又B为三角形的内角,∴sinB≠0,
∴cosB=-
,
则B=
;
(Ⅱ)∵B=
,∴sinB=
,
又S
△ABCacsinB=2
,
∴ac=8①,
又b=2
,cosB=-
,
∴由余弦定理得:cosB=
=
=-
,
可得:a
2+c
2=20,
∴(a+c)
2=a
2+c
2+2ac=20+16=36,
∴a+c=6②,
联立①②解得:a=2,c=4或a=4,c=2,
则a=2,c=4或a=4,c=2.
(I)由acosC,-bcosB,ccosA成等差数列,利用等差数列的性质列出关系式,再利用正弦定理,两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简,根据sinB不为0,两边同时除以sinB,可得出cosB的值,由B为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数;
(Ⅱ)利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积,把sinB及已知的面积代入求出ac的值,记作方程①,然后再利用余弦定理表示出cosB,把b,ac及cosB的值代入,求出a2+c2的值,并利用完全平方公式及ac的值求出a+c的值,记作方程②,联立①②即可求出a与c的值.
余弦定理;正弦定理.
此题考查了正弦、余弦定理,三角形的面积公式,两角和与差的正弦函数公式,诱导公式,完全平方公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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