已知函数f(x)=23sin(x+π4)cos(x+π4)-2sin(x+π)sin(x+5π2) (Ⅰ)求f(x)的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)若将f(x)的图象向右平移π12个单位得到函数g
题目
已知函数f(x)=2
sin(x+)cos(x+)-2sin(x+π)sin(x+)(Ⅰ)求f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(Ⅱ)若将f(x)的图象向右平移
个单位得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间
[0,]上的最大值和最小值.
答案
(Ⅰ)f(x)=
sin(2x+
)+2sinxcosx=
cos2x+sin2x=2sin(2x+
),
∵ω=2,∴f(x)的最小正周期为π;
令2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
,k∈Z,解得:kπ-
≤x≤kπ+
,k∈Z,
则f(x)单调递增区间为[kπ-
,kπ+
],k∈Z;
(Ⅱ)根据题意得:g(x)=2sin[2(x-
)+
]=2sin(2x+
),
∵2x+
∈[
,
],∴-1≤2sin(2x+
)≤2,
则f(x)的最大值为2,最小值为-1.
(Ⅰ)函数f(x)解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简,第二项利用诱导公式化简后再利用二倍角的正弦函数公式化简,整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,找出ω的值,代入周期公式即可求f(x)的最小正周期,根据正弦函数的单调性即可确定出单调递增区间;
(Ⅱ)利用平移规律,根据f(x)得到g(x)解析式,确定出函数g(x)的值域,即可确定出最大值与最小值.
两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
此题考查了两角和与差的正弦函数公式,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性,以及三角函数的变换,熟练掌握公式是解本题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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