椭圆M；x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),左右焦点分别为F1,F2

题目

椭圆M；x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),左右焦点分别为F1,F2
P为椭圆上任一点,且向量PF1 乘向量PF2取值范围是[c² ,3c²]
其中c=√(a²-b²)
则椭圆离心率e的取值范围是

答案

F1（-c,0）,F2（c,0）,设点P为（x,y）
∵ x2／a2+y2／b2=1∴ x2=a2(b2-y2)／b2
∴ PF1=(-c-x,-y), PF2=(c-x,-y)
∴ PF1•PF2=x2-c2+y2= [a2(b2-y2)]／b2-c2+y2
= a2-c2-﹙c2y2﹚／b2
当y=0时 PF1•PF2取到最大值a2-c2,即c2≤a2-c2≤3c2,
∴ √2c≤a≤2c,
∴ 1／2≤e≤√2／2．
[1／2,√2／2]．