若关于x的方程1+a−x-a+x=0有实数解,求正整数a的取值范围.

若关于x的方程1+a−x-a+x=0有实数解,求正整数a的取值范围.

题目
若关于x的方程
1+a−x
-a+
x
=0有实数解,求正整数a的取值范围.
答案
若关于x的方程
1+a−x
-a+
x
=0有实数解,
则关于x的方程
1+a−x
=a-
x
有实数解,
即1+a-x=x+a2-2a
x
有实数解,
即2x-2a
x
+a2-a-1=0有实数解,
故△=(2a)2-8(a2-a-1)≥0,
即a2-2a-2≤0,
解得:a∈[1-
3
,1+
3
],
又由a为正整数,
故a=1,或a=2
若关于x的方程
1+a−x
-a+
x
=0有实数解,则关于x的方程
1+a−x
=a-
x
有实数解,即1+a-x=x+a2-2a
x
有实数解,即2x-2a
x
+a2-a-1=0有实数解,即△=(2a)2-8(a2-a-1)≥0,结合a为正整数,可得答案.

函数的零点.

本题考查的知识点是方程的根,其中将问题转化为二次方程根的个数判断,是解答的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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