求函数f(x)＝1/3x3−4x+4的极值．

题目

求函数f(x)＝

1

3

x3−4x+4的极值．

答案

∵f(x)＝

1

3

x3−4x+4，
∴f′（x）=x²-4=（x-2）（x+2）．                           …3分
令f′（x）=0，解得x=2，或x=-2．                    …6分
下面分两种情况讨论：
当f′（x）＞0，即x＞2，或x＜-2时；
当f′（x）＜0，即-2＜x＜2时．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	_	0	+
f（x）	单调递增	28 3	单调递减	− 4 3	单调递增

…9分
因此，当x=-2时，f（x）有极大值，且极大值为f（-2）=

28

3

；
当x=2时，f（x）有极小值，且极小值为f（2）=−

4

3

．…12分

首先对函数求导，使得导函数等于0，解出x的值，分两种情况讨论：当f′（x）＞0，即x＞2，或x＜-2时；当f′（x）＜0，即-2＜x＜2时，列表做出函数的极值点，求出极值．

本题考点：利用导数研究函数的极值．

考点点评：本题考查函数极值的求法，本题解题的关键是对函数求导，求出导函数等于0时对应的变量的取值，再进行讨论，本题是一个中档题目，这个知识点一般出现在综合题目中．