已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是( ) A.y=2x-1 B.y=x C.y=3x-2 D.y=-2x+3
题目
已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是( )
A. y=2x-1
B. y=x
C. y=3x-2
D. y=-2x+3
答案
∵f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,∴f(1)=2f(1)-1∴f(1)=1
∵f′(x)=-2f′(2-x)-2x+8
∴f′(1)=-2f′(1)+6∴f′(1)=2
根据导数的几何意义可得,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率k=f′(1)=2
∴过(1,1)的切线方程为:y-1=2(x-1)即y=2x-1
故选A.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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